Question

如图，一个棱长为a的立方体内有1个大球和8个小球，大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余（　　）

• A．

  (6-3 3 )

  2

  a
• B．(6-3

  3

  )a
• C．

  5 3 -8

  2

  a
• D．(5

  3

  -8)a

Answer 1

分析：先得出大球的半径为

a

2

，设小球的半径r，利用三角形的内切圆半径公式用a 来表示r，再设小球切截面CDE于F，表示出AF的长，最后利用等积法求得结果即可．

解答：解：大球的半径为

a

2

，设小球的半径r，则2

3

r+2r+a=

3

a⇒r=

3 -1

2( 3 +1)

a=

2- 3

2

a
设小球切截面CDE于F，则AF=

3 a-4r-a

2

=

3 3 -5

2

a，
设AC=x，利用等积法求得x=

3

AF=

9-5 3

2

a，所以CH=a-2AF=(5

3

-8)a
故选D．

点评：本题是基础题，考查棱柱的结构特征知识，本题的解答采用截面法，平面几何的应用，考查空间想象能力．