题目内容

如图，一个棱长为a的立方体内有1个大球和8个小球，大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：先得出大球的半径为 $\text{[math]}$ ，设小球的半径r，利用三角形的内切圆半径公式用a 来表示r，再设小球切截面CDE于F，表示出AF的长，最后利用等积法求得结果即可．
解答：大球的半径为 $\text{[math]}$ ，设小球的半径r，则 $\text{[math]}$
设小球切截面CDE于F，则 $\text{[math]}$ ，
设AC=x，利用等积法求得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$
故选D．
点评：本题是基础题，考查棱柱的结构特征知识，本题的解答采用截面法，平面几何的应用，考查空间想象能力．

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