Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且2S_n=2-a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 记b_n=a_n+n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据a_n=s_n-s_n-1（n≥2）和题意进行求解，再由等比数列的通项公式求出；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果求出b_n，根据b_n的特点需要用拆项法求该数列的前n项和，还利用等比数列前n项和公式进行求解．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，2S₁=2-a₁，2a₁=2-a₁，∴a1=

2

3

；
当n≥2时，

2Sn=2-an 2Sn-1=2-an-1

，
两式相减得2a_n=a_n-1-a_n（n≥2），
即3a_n=a_n-1（n≥2），又a_n-1≠0∴

an

an-1

=

1

3

（n≥2），
∴数列a_n是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，
∴an=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•(

1

3

)n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=2•(

1

3

)n+n，
∴Tn=2[

1

3

+(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+(

1

3

)n]+(1+2+3+…+n)=2×

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

+

(n+1)n

2

=1-(

1

3

)n+

n2+n

2

．

点评：本小题主要考查等比数列及数列求和等基础知识，以及数列的前n项和与通项公式的关系式，利用拆项法求数列的前n项和，考查运算求解能力．