Question

（2006•嘉定区二模）方程

1

x

=lgx的近似解x≈

2.5

（精确到0.1）．

Answer 1

分析：先立业零点的存在性定理大致确定零点的范围，记零点为x₀，利用二分法进行判定，直到区间长度小于0.1即可．

解答：解：令f（x）=

1

x

-lgx，
则f（1）=1-0＞0，f（2）=

1

2

-lg2＞0，f（3）=

1

3

-lg3＜0，f（4）=

1

4

-lg4＜0
∴方程

1

x

-lgx=0在区间（2，3）上必有根，
记为x₀，并且解在区间（2，3）内
设f（x）=

1

x

-lgx，用计算器计算
得f（2.5）＞0，f（3）=

1

3

-lg3＜0⇒x₀∈（2.5，3）；
f（2.75）＜0，f（2.5）＞0⇒x₀∈（2.5，2.75）；
f（2.625）＜0，f（2.5 ）＞0⇒x₀∈（2.5，2.625）
f（2.5625）＜0，f（2.5 ）＞0⇒x₀∈（2.5，2.5625）；
∵|2.5625-2.5|=0.062 5＜0.1，
所以方程的近似解可取为2.5
故答案为：2.5

点评：熟练掌握函数零点的判定定理及二分法求函数零点的方法，同时考查了计算的能力，属于中档题．