Question

在球面上有四个点P、A、B、C，若PA、PB、PC两面垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积和表面积．

Answer 1

答案：
解析：

如图，由PA⊥PB可知P、A、B确定一个平面，设它与球O的交线为⊙O1．由于PA⊥PB，故AB是⊙O的直径，且AB＝，∴PC⊥PA，PC⊥PB，∴PC⊥平面PAB，又OQ1⊥平面PAB，∴OO1∥PC． 　　过OO1、PC作平面α，平面α与球面的交线为大圆O，设⊙O与⊙O1的另一个交点为Q(已知一个交点为P)，则直线PQ是平面α和平面PAB的交线．点O1∈PQ，连CQ． 　　在⊙O中，∵PC⊥PQ，∠CPQ为直角， 　　∴CQ为⊙O的直径． 　　设⊙O的半径为R，即球O的半径为R0，在Rt△CPQ中， 　　CQ＝，∴2R＝即R＝． 　　∴V球＝，S球＝4πR2＝3πa2