Question

设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x₁、x₂∈［0,］,都有f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂),且f(1)=a>0.

(1)求f()、f();

(2)证明f(x)是周期函数；

Answer 1

（1）f()=a,f()=a

解析:

(1)因为对x₁,x₂∈［0,］,都有f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂),

所以f(x)=≥0,x∈［0,1］

又因为f(1)=f(+)=f()·f()=［f()］²

 

f()=f(+)=f()·f()=［f（）］²

又f(1)=a>0

∴f()=a,f()=a

(2)证明：依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1－x),即f(x)=f(2－x),x∈R.

又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x),x∈R

∴f(－x)=f(2－x),x∈R.

将上式中－x以x代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个

周期.