Question

【题目】已知函数，.

（1）当 时，求函数图象在点处的切线方程；

（2）当时，讨论函数的单调性；

（3）是否存在实数，对任意，且有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①当， 在上单调递增；②当，时， 在，上单调递增，在上单调递减；③当时，在，上单调递增，在上单调递减；（3）．

【解析】分析：（1）求出函数在的导数即可得切线方程；

（2），就分类讨论即可；

（3）不妨设，则原不等式可以化为，故利用为增函数可得的取值范围．

详解：（1）当时，，，

所以所求的切线方程为，即．

（2），

①当，即时，，在上单调递增．

②当，即时，

因为或时，；

当时，，

在和上单调递增，在上单调递减；

③当，即时，

因为或时，；

当时，，

在，上单调递增，在上单调递减．

（3）假设存在这样的实数，满足条件，

不妨设，由知，

令，则函数在上单调递增．

所以，即在上恒成立，

所以，故存在这样的实，满足题意，其取值范围为．