Question

【题目】函数 ，其中 ．

（1）试讨论函数 的单调性；

（2）已知当 （其中 是自然对数的底数）时，在 上至少存在一点 ，使 成立，求 的取值范围；

（3）求证：当 时，对任意 ，，有 ．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】分析：（1）求导数后根据的取值范围判断出导函数在上的符号可得函数的单调性．（2）将问题转化为“当时，”处理，由（1）可得，由，即为所求的范围．（3）当时，．令，可得在上为减函数．故对任意，都有成立，由此可得成立．

详解：（1）易知的定义域为．

由题意得．

令 得 或 ．

∵ ，

∴ ．

①当时，

则当单调递增，

当单调递减，

当单调递增．

②当时，

则当单调递增；

当单调递减；

当单调递增．

③当时，则当单调递增．

综上，当时，在和上单调递减；

当时，在和上单调递减；

当时，在上单调递增．

（2）在上至少存在一点，使成立，

等价于当时，．

∵ ，

∴ ．

由（1）知，当时，单调递增；当时，单调递减．

∴ 当时，．

由 ．

经检验知上式满足．

∴所以 的取值范围是．

（3）当时，函数．

令，

则．

∴当时，，为减函数．

∴ 对任意，都有成立，

即．

即．

又，

∴ ．