Question

（本小题满分14分）
已知函数，，它们的定义域都是，其中，
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，对任意，求证：
（Ⅲ）令，问是否存在实数使得的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）的单调增区间为，减区间为
（Ⅱ）证明见解析。
（Ⅲ）

21 （本小题满分14分）
（Ⅰ）当时，，  
∴                      -----------2分
令 ∴   令 ∴
∴的单调增区间为，减区间为            -----------4分
（Ⅱ）由（I）知在的最小值为        -----------5分
又
在区间上成立
∴在单调递增，故在区间上有最大值 -----------7分
要证对任意，
即证
即证，即证
故命题成立                                     -----------9分
（Ⅲ），
∴
（1）当时，，∴在单调递减，
故的最小值为，舍去                -----------11分
（2）当时，由，得 
①当时，，
∴在单调递减，故的最小值为，
∴，舍去
②当时，，
∴在单调递减，在单调递增，
故的最小值为，，满足要求  -----------12分
（3）当时，在上成立，
∴在单调递减，故的最小值为∴，舍去
综合上述，满足要求的实数                  -----------14分