Question

已知抛物线x²=2py（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B两点处的切线相交于点Q．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求点Q的纵坐标；
（Ⅲ）证明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）设直线l的方程为．将它与抛物线的方程联立组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，再结合根与系数的关系即可求出
的值；
（II）利用导数几何意义求出切线的斜率，从而求得切线的方程，最后联立直线的方程组成方程组求出交点Q的坐标即可；
（III）欲证明：．分别求出左式和右式，看它们是否相等即可．为了求得左右两式，须结合（1）中的方程中根与系数的关系，以及（2）求得和Q的坐标求解即可．
解答：（Ⅰ）解：∵，
∴设直线l的方程为．
由可得x²-2pkx-p²=0．（2分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²．（3分）

=（4分）
∴．（5分）
（Ⅱ）解：由x²=2py，可得，
∴．
∴抛物线在A、B两点处的切线的斜率分别为．
∴在点A处的切线方程为，即．（7分）
同理在点处B的切线方程为．
解方程组
可得
即点Q的纵坐标为．（9分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，，
∴，（11分）
又，
∴
=
=（1+k²）p²．
∴．（13分）
点评：本题主要考查了抛物线的简单性质、直线与圆锥曲线的综合问题等知识．属于中档题．