Question

【题目】如图，在三棱台中，底面是边长为的等边三角形，上、下底面的面积之比为，侧面底面，并且.

（1）平面平面，证明：；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）由题意可知，结合几何关系可证得平面，据此可得题中的结论；

（2）以为原点建立空间直角坐标系.由题意求得平面的法向量为，平面的法向量为，据此求解平面与平面所成二面角的正弦值即可.

（1）几何体为棱台，

平面平面

平面，平面平面

（2），则面积之比为相似比的平方，而

过点作交于，由于侧面底面为交线，底面.在中，易求得为线段的四等分点，取的中点，则有，以为原点建立空间直角坐标系.

设平面的法向量为

可得

设平面的法向量为

故平面与平面所成二面角的正弦值为.