Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，，，，点是与的交点，点在线段上，且.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）由题意得是等边三角形，故得，于是，从而得，所以，然后根据线面平行的判定定理可得结论成立．（2）由平面可得，于是平面．又，所以直线与平面所成角即直线与平面所成角，从而得到即为所求角，然后根据解三角形可得所求．

详解：（1）因为，

所以垂直平分线段．

又，

所以．

在中，由余弦定理得

，

所以．

又，

所以是等边三角形，

所以，

所以，

又因为，

所以，

所以．

又平面平面，

所以平面．

（2）因为平面，平面，

所以，

又，

所以平面．

由（1）知，

所以直线与平面所成角即直线与平面所成角，

故即为所求的角．

在中，，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为．