Question

已知数列 {a_n}和{b_n}满足 ，{b_n}的前n项和为T_n．
（Ⅰ）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{a_n}一定不是等差数列；
（Ⅱ） 当时，试判断{b_n}是否为等比数列；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，若1≤T_n≤2对任意的n∈N^*恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把m=1代入a_n+1=λa_n+n，求出a₁，a₂和a₃，假设是等差数列，推出矛盾，从而进行证明；
（Ⅱ）把代入，对b_n进行化简，对于首项要进行讨论，从而进行判断；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，若1≤T_n≤2对任意的n∈N^*恒成立，求出T_n的最大值和最小值即可，对于n的奇偶性要进行讨论，求出T_n的范围，从而求解；
解答：解：（Ⅰ）…（2分）

即λ²-λ+1=0，△=-3＜0，方程无实根．
故对于任意的实数λ，
{a_n}一定不是等差数列…（5分）
（Ⅱ）
=
∴…（9分）
…（10分）
（Ⅲ），不成立…（11分）
当时
当n为奇数时，
当n为偶数…（14分）
∵1≤T_n≤2对任意的n∈N^*恒成立，
∴解得m=
从而求得…（16分）
点评：此题主要考查等差数列前n项和公式及其应用，第三问需要讨论n的奇偶性，有一定的难度，解题过程中用到了转化的思想，是一道中档题；