Question

（2008•闸北区二模）等差数列{a_n}的前n项和为Sn，a1=1+

2

，S3=9+3

2

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n与前n项和S_n；
（Ⅱ）设bn=an-

2

(n∈N*)，{b_n}中的部分项bk1，bk2，…bkn恰好组成等比数列，且k₁=1，k₄=63，求数列{k_n}的通项公式；
（Ⅲ）设cn=

Sn

n

(n∈N*)，求证：数列{c_n}中任意相邻的三项都不可能成为等比数列．

Answer 1

分析：（I）根据题目条件建立首项和公差的方程组，解之即可求出首项和公差，从而求出数列{a_n}的通项a_n与前n项和S_n；
（II）由（Ⅰ）得，b_n=2n-1，再由已知得等比数列{bkn}的公比，可建立k_n的解析式；
（III）由（Ⅰ）得cn=

Sn

n

=n+

2

(n∈N*)，假设数列中存在相邻三项c_n，c_n+1，c_n+2（n∈N^*）成等比数列，根据等比数列的性质建立等式关系，找出矛盾，从而可求证得数列{c_n}中任意相邻的三项都不可能成为等比数列．

解答：解：（Ⅰ）由已知得

a1= 2 +1 3a1+3d=9+3 2

，∴d=2，…（3分）
故an=2n-1+

2

，Sn=n(n+

2

)．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=2n-1，…（1分）
再由已知得，等比数列{bkn}的公比q3=

b63

b1

=125，…（2分）
∴q=5…（2分）∴2k_n-1=5^n-1⇒∴kn=

1

2

(5n-1+1)…（2分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得cn=

Sn

n

=n+

2

(n∈N*)．…（1分）
假设数列中存在相邻三项c_n，c_n+1，c_n+2（n∈N^*）成等比数列，
则c_n+1²=c_nc_n+2，即(n+1+

2

)2=(n+

2

)(n+2+

2

)．…（2分）
推出1=0矛盾．所以数列{b_n}中任意不同的三项都不可能成等比数列．…（2分）

点评：本题主要考查了等差数列的性质，以及数列的求和和新数列的判定，属于中档题．