Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（ 为参数），为曲线上的动点，动点满足（且），点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；

（2）在以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 点的极坐标为，射线与的异于极点的交点为，已知面积的最大值为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】分析：（1）设， ，根据，推出，代入到，消去参数即可求得曲线的方程及其表示的轨迹；（2）法1：先求出点的直角坐标，再求出直线的普通方程，再根据题设条件设点坐标为，然后根据两点之间距离公式及三角函数的图象与性质，结合面积的最大值为，即可求得的值；法2：将， 代入，即可求得，再根据三角形面积公式及三角函数的图象与性质，结合面积的最大值为，即可求得的值.

详解：（1）设， ，由得.

∴

∵在上

∴即（为参数），消去参数得.

∴曲线是以为圆心，以为半径的圆.

（2）法1： 点的直角坐标为.

∴直线的普通方程为，即.

设点坐标为，则点到直线的距离.

∴当时，

∴的最大值为

∴.

法2：将， 代入并整理得： ，令得.

∴

∴

∴当时， 取得最大值，依题意，∴.