Question

在数列{a_n}与{b_n}中，a₁＝1，b₁＝4，数列{a_n}的前n项和S_n满足nS_n+1－(n＋3)S_n＝0，2a_n+1为b_n与b_n+1的等比中项，n∈N*．

(Ⅰ)求a₂，b₂的值；

(Ⅱ)求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；

(Ⅲ)设．证明|T_n|＜2n²，n≥3．

Answer 1

答案：
解析：

本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分 　　(Ⅰ)解：由题设有，，解得．由题设又有，，解得． 　　(Ⅱ)解法一：由题设，，，及，，进一步可得，，，，猜想，，． 　　先证，． 　　当时，，等式成立．当时用数学归纳法证明如下： 　　(1当时，，等式成立． 　　(2)假设时等式成立，即，． 　　由题设，…………① 　　……② 　　①的两边分别减去②的两边，整理得，从而 　　． 　　这就是说，当时等式也成立．根据(1)和(2)可知，等式对任何的成立． 　　综上所述，等式对任何的都成立 　　再用数学归纳法证明，． 　　(1)当时，，等式成立． 　　(2)假设当时等式成立，即，那么 　　． 　　这就是说，当时等式也成立．根据(1)和(2)可知，等式对任何的都成立． 　　解法二：由题设……① 　　………② 　　①的两边分别减去②的两边，整理得，．所以 　　， 　　， 　　…… 　　，． 　　将以上各式左右两端分别相乘，得， 　　由(Ⅰ)并化简得，． 　　止式对也成立． 　　由题设有，所以，即，． 　　令，则，即．由得，．所以，即，． 　　解法：由题设有，，所以 　　， 　　， 　　…… 　　，． 　　将以上各式左右两端分别相乘，得，化简得 　　，． 　　由(Ⅰ)，上式对也成立．所以，． 　　上式对时也成立． 　　以下同解法二，可得，． 　　(Ⅲ)证明：． 　　当，时， 　　． 　　注意到，故 　　． 　　当，时， 　　当，时， 　　． 　　当，时， 　　． 　　所以． 　　从而时，有 　　总之，当时有，即．