Question

如果抛物线y=ax²-1上总有关于直线x+y=0对称的相异两点，试求a的范围.

Answer 1

解法一:设抛物线y=ax²-1上关于x+y=0对称的相异两点坐标为A（x₀,y₀）、B（-y₀,-x₀）.

∵两点都在抛物线上，

∴

①-②，得y₀+x₀=a(x₀²-y₀²).

∵x₀+y₀≠0,∴x₀=.③

将③代入②，得a²y₀²+ay₀+1-a=0.

∵y₀∈R,且(x₀,y₀)与(-y₀,-x₀)相异，

∴Δ=a²-4a²(1-a)>0.?

∴a>.

∴a的取值范围是（，+∞）.

解法二:设抛物线上关于直线x+y=0对称的两点所在的直线方程为y=x+b,代入y=ax²-1,得?ax²-x-b-1=0.∵x∈R,且两点为相异两点，

∴Δ=1+4a(b+1)>0,即4ab+4a+1>0.①?

设两对称点为A（x₁,y₁）、B(x₂,y₂)，则?

x₁+x₂=,y₁+y₂=+2b.?

又∵+=0,

∴++b=0,即b=-.②

将②代入①，得a>.

∴a的取值范围是（，+∞）.