Question

设关于x的方程x²-mx-1=0有两个实根α，β，且α＜β．定义函数
（1）当α=-1，β=1时，判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；
（2）求αf（α）+βf（β）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据韦达定理，由α=-1，β=1，可求出m值，进而求出函数f（x）的解析式，根据函数单调性的定义可得答案．
（2）由α，β是方程x²-mx-1=0的两个实根，根据韦达定理可得，代入分别求出f（α），f（β）的值，进而可求αf（α）+βf（β）的值．
解答：解：（1）∵α=-1，β=1，
由韦达定理可得：m=α+β=0
∴------（2分）
设x₁＜x₂，

∵（x₂-x₁）＞0，
当x₂，x₁＞1时，（1-x₁x₂）＜0，此时f（x₂）-f（x₁）＜0，函数为减函数，
当-1＜x₂，x₁＜1时，（1-x₁x₂）＞0，此时，函数为增函数，
当x₂，x₁＜-1时，（1-x₁x₂）＜0，此时，函数为减函数，（9分）
（2）∵α，β是方程x²-mx-1=0的两个实根，
∴．
∴===，
同理f（β）=，
∴αf（α）+βf（β）=α•+β•=1+1=2．（13分）
点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的单调性的判断与证明，一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）是解答的关键．