题目内容
已知四棱锥P-ABCD，其三视图和直视图如图．（1）求该四棱锥体积；
（2）证明：平面PAE⊥平面PDE．
分析：（1）根据三视图可求四棱锥的高和底面积，然后求出体积．（2）利用面面垂直的判定定理进行证明．
解答：解：（1）由三视图知底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，顶点P在面ABCD内的射影为BC为中点E，棱锥的高为2，…（2分）
则体积VP-ABCD=
SABCD×PE=
×2×4×2=
…（6分）
（2）因为PE⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PE⊥AE，在矩形ABCD中取AD的中点F，
由AB=2，CE=BE=2，得EF=
AD，
所以AE⊥ED，又ED∩AE=E，所以AE⊥平面PED，
因为AE?平面PAE，
所以，平面PAE⊥平面PDE，…（12分）
则体积VP-ABCD=
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| 3 |
| 1 |
| 3 |
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（2）因为PE⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PE⊥AE，在矩形ABCD中取AD的中点F，
由AB=2，CE=BE=2，得EF=
| 1 |
| 2 |
所以AE⊥ED，又ED∩AE=E，所以AE⊥平面PED，
因为AE?平面PAE，
所以，平面PAE⊥平面PDE，…（12分）
点评：本题主要考查三视图的应用，棱锥的体积公式，以及面面垂直的判定，要求熟练掌握相关的判定定理．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知四棱锥P--ABC的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e为PC的中点，F为AD的中点．
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．
已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E为BC中点，AE与BD交于O点，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是线段PC上一点，PC⊥平面BDE．