Question

已知椭圆，点在椭圆上，其左、右焦点为F₁、F₂．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若，过点的动直线l交椭圆于A、B两点，请问在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用椭圆，点在椭圆上，建立方程，确定几何量的关系，即可求得椭圆的离心率；
（Ⅱ）先求椭圆的标准方程，再由特殊情况猜想M（0，1），进而证明一般性的结论成立．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆，点在椭圆上，
∴，∴a²=2b²，∴c²=a²-b²=b²，
∴=；
（Ⅱ）∵
∴（-c-b，-）•（c-b，-）=
∴
∴a=，b=1
∴椭圆方程为；
假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点．
当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为：x²+y²=1①
当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为：x²+（y+）²=②
由①，②知定点M（0，1）
下证：以AB为直径的圆恒过定点M（0，1）．
设直线l：y=kx-，代入椭圆方程，消去y可得（2k²+1）x²--=0
设A（x₁，y₁），B（（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=
∵，
∴=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=（1+k²）x₁x₂-k（x₁+x₂）+=0
∴在x轴上存在定点M（0，1），使以AB为直径的圆恒过这个定点．
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查存在性问题，由特殊到一般是解题的关键．