Question

已知椭圆C：的右顶点A（2，0），离心率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知P（异于点A）为椭圆C上一个动点，过O作线段AP的垂线l交椭圆C于点E，D，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据A（2，0）是椭圆C的右顶点，可得a=2，利用，可得，从而b²=a²-c²=4-3=1，故可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）当直线AP的斜率为0时，可得；当直线AP的斜率不为0时，设出直线AP、DE的方程，分别与椭圆方程联立，求出|AP|，|DE|，进而利用导数，即可确定的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）因为 A（2，0）是椭圆C的右顶点，所以a=2．
又，所以 ．
所以 b²=a²-c²=4-3=1．
所以椭圆C的方程为．…（3分）
（Ⅱ）当直线AP的斜率为0时，|AP|=4，DE为椭圆C的短轴，则|DE|=2，所以．…（5分）
当直线AP的斜率不为0时，设直线AP的方程为y=k（x-2），P（x，y），
则直线DE的方程为．…（6分）
由得x²+4[k（x-2）]²-4=0，即（1+4k²）x²-16k²x+16k²-4=0．
所以，所以 ．…（8分）
所以 ，即 ．
类似可求．
所以．…（11分）
设，则k²=t²-4，t＞2．
∴．
令，则．所以 g（t）是一个增函数．
所以 ．
综上，的取值范围是．…（13分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．