题目内容

已知向量
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，且x∈[0，
π
2
]．
（1）当x=
π
4
时，求|
a
+
b
|；
（2）设函数f(x)=|
a
+
b
|+
a
•
b
，求函数f（x）的最值及相应的x的值．
分析：（1）由题意得出向量
a
、
b
的坐标，利用诱导公式化简出
a
+
b
=（sin
π
8
+cos
π
8
，cos
π
8
-sin
π
8
），再根据向量模的公式加以计算，即可算出的|
a
+
b
|值；
（2）由向量的数量积公式、模的公式和三角恒等变换公式，结合题中数据算出f（x）=2cos2x+2cosx-1，最后利用x∈[0，
π
2
]得cosx∈[0，1]，即可得到f（x）的最值及相应的x的值．
解答：解：（1）当x=
π
4
时，
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)=（cos
3π
8
，sin
3π
8
），
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)=（cos
π
8
，-sin
π
8
），
∴
a
+
b
=（cos
3π
8
+cos
π
8
，sin
3π
8
-sin
π
8
）=（sin
π
8
+cos
π
8
，cos
π
8
-sin
π
8
）
可得|
a
+
b
|2=（sin
π
8
+cos
π
8
）2+（cos
π
8
-sin
π
8
）2=2（sin2
π
8
+cos2
π
8
）=2
∴|
a
+
b
|=
2
；
（2）∵
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，
∴
a
•
b
=cos
3
2
xcos
x
2
+sin
3
2
x(-sin
x
2
)=cos2x，
|a|
=
|b|
=1
可得|
a
+
b
|2=
a
2+2
a
•
b
+
b
2=2+2cos2x=2+2（2cos2x-1）=4cos2x，
∴由x∈[0，
π
2
]，得|
a
+
b
|=
4cos2x
=2cosx
f(x)=|
a
+
b
|+
a
•
b
=2cosx+cos2x=2cos2x+2cosx-1，
∵cosx∈[0，1]，
∴当cosx=0时即x=
π
2
时，f（x）的最小值为-1；cosx=1时即x=0时，f（x）的最大值为3．
点评：本题给出向量含有三角函数式的坐标形式，求f(x)=|
a
+
b
|+
a
•
b
的最值及相应的x的值．着重考查了向量数量积公式、模的公式和三角恒等变换公式等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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