Question

（2012•徐汇区一模）某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为R=40cm，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上．该车的涉水安全要求是：水面不能超过它的底盘高度．如图所示：某处有一“坑形”地面，其中坑ABC形成顶角为120°的等腰三角形，且AB=BC=60cm，如果地面上有h（cm）（h＜40）高的积水（此时坑内全是水，其它因素忽略不计）．
（1）当轮胎与AB、BC同时接触时，求证：此轮胎露在水面外的高度（从轮胎最上部到水面的距离）为d=10+

80 3

3

-h；
（2）假定该汽车能顺利通过这个坑（指汽车在过此坑时，符合涉水安全要求），求h的最大值．（精确到1cm）．

Answer 1

分析：（1）设轮胎与AB边的切点为T，轮胎中心为O，则|OT|=40，由∠ABC=120°，知∠OBT=60°，可得OB|=

2×40

3

，由此求得从B点到轮胎最上部的距离．
（2）由题意可得只要d≥40，即

80

3

+10-h≥4040，由此求得h的最大值．

解答：解：（1）当轮胎与AB、BC同时接触时，设轮胎与AB边的切点为T，轮胎中心为O，则|OT|=40，
由∠ABC=120°，知∠OBT=60°，…..（2分）
故|OB|=

2×40

3

..…..（4分）
所以，从B点到轮胎最上部的距离为

2×40

3

+40，…..（6分）
此轮胎露在水面外的高度为d=

2×40

3

+40-（60cos60°+h）=

80

3

+10-h，得证．…..（8分）
（2）只要d≥40，…..（12分）
即

80

3

+10-h≥4040，解得h≤16cm，
所以h的最大值为16cm．…..（14分）

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，函数的最值及其几何意义，属于中档题．