Question

（2012•徐汇区一模）若(x+

1

2x

)n的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中x⁴项的系数为

7

．

Answer 1

分析：依题意，

C

0 n

+

1

4

C

2 n

=2

C

1 n

×

1

2

，可求得n，由二项展开式的通项公式即可求得x⁴项的系数．

解答：解：∵(x+

1

2x

)n的展开式中前三项的系数依次成等差数列，
∴

C

0 n

+

1

4

C

2 n

=2

C

1 n

×

1

2

，
即n+

n(n-1)

8

=n，解得n=8或n=1（舍）．
设其二项展开式的通项为T_r+1，则T_r+1=

C

r 8

•x^8-r•(

1

2

)r•x^-r=

C

r 8

•(

1

2

)r•x^8-2r，
令8-2r=4得r=2．
∴展开式中x⁴项的系数为

C

2 8

•(

1

2

)2=28×

1

4

=7．
故答案为：7．

点评：本题考查二项式定理，通过等差数列的性质考查二项展开式的通项公式，考查分析与计算能力，属于中档题．