Question

已知函数f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx，若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，e）处公共切线．
（I）求a，b的值；
（II）记h（x）=f（x）+g（x），判断函数h（x）的单调性．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用导数的运算法则可得f^′（x），g^′（x），由题意可得，解出即可；
（II）利用（I）即可得到h（x），利用导数的运算法则即可得到h^′（x），即可得到其单调性．
解答：解：（I）由已知可得f^′（x）=2ax，g′（x）=3x²+b，
由题意可得，即，
解得a=b=3．
（II）由（I）可得f（x）=3x²+1，g（x）=x³+3x，
∴h（x）=f（x）+g（x）=x³+3x²+3x+1，
∴h^′（x）=3x²+6x+3=3（x+1）²≥0，
因此h（x）在R上单调递增．
点评：熟练掌握导数的运算法则与几何意义、利用导数研究函数的单调性等是解题的关键．