Question

7．已知过点p（0，-2）的直线l与圆C：x²+y²-10x-2y+22=0相交于A、B两点，若满足5$\overrightarrow{PA}$=3$\overrightarrow{PB}$，则这条直线的斜率为$\frac{7}{23}$或1．

Answer 1

分析 设直线l：y=kx-2，设A（a，ka-2）、B（b，kb-2），利用5$\overrightarrow{PA}$=3$\overrightarrow{PB}$，可得5a=3b；将y=kx-2代入x²+y²-10x-2y+22=0，利用韦达定理，两者结合，即可求出直线的斜率．

解答 解：设直线l：y=kx-2，设A（a，ka-2）、B（b，kb-2），
∵5$\overrightarrow{PA}$=3$\overrightarrow{PB}$，
∴5（a-0，ka-2+2）=3（b-0，kb-2+2），即5（a，ka）=3（b，kb），从而5a=3b①
将y=kx-2代入x²+y²-10x-2y+22=0中可得：（k²+1）x²-（6k+10）x+30=0，
∴a+b=$\frac{6k+10}{{k}^{2}+1}$，ab=$\frac{30}{{k}^{2}+1}$②．
联立解得k=$\frac{7}{23}$或k=1
故答案为：$\frac{7}{23}$或1．

点评 本题考查直线的斜率，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．