Question

设数列{a_n}是等比数列，a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．
（1）用n，x表示通项a_n与前n项和S_n；
（2）若A_n=C_n¹S₁+C_n²S₂+…+C_nⁿS_n，用n，x表示A_n．

Answer 1

【答案】分析：第（1）问的提出是很自然的，在确定参数m和公比q时，自然需要讨论排列数、组合数的性质，此处为：，另外二项展开式中的第二项的求解需要注意题意，即按x的降幂排列．以上两点注意到了很自然的能求出参数m和公比q的值来．
（2）在（1）中求得前n项和S_n的基础上要分两类x=1和x≠1来解答，当x=1时的形式能使我们很容易得到表达式A_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=0C_n+1C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，联想组合数的性质C_n+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ=2ⁿ，很容易构造出解答A_n的式子及方法．当x≠1时要分两组式子分别计算得到A_n的值．
解答：解：（1）∵a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹∴∴m=3，…（2分）
由的展开式中的同项公式知，

∴a_n=x^n-1
∴由等比数列的求和公式得：…（4分）
（2）当x=1时，S_n=n，
所以：A_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=0C_n+1C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
又∵A_n=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+（n-2）C_n^n-2+…+C_n¹+0C_n，
∴上两式相加得：2A_n=n（C_n+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=n•2ⁿ，
∴A_n=n•2^n-1，
当x≠1时，，
所以有：


∴…（10分）
点评：本题综合考查了数列及数列的前n项和的求法，二项式定理的内容．公比为参数x的等比数列前n项和的讨论．对于二项式定理的展开应用，本题需要注意是按照参数字母x的降幂排列，忽略这一点将导致错误．