Question

如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AD=PD
（I）求证：平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）若二面角Q-BP-C的余弦值为，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先利用勾股定理证线线垂直，再线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直；
（II）先建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，再利用向量坐标运算求二面角的余弦，根据余弦值求解即可．
解答：解：（I）证明：设AD=1，则DQ=，DP=2，
∵PD∥QA，∴∠PDQ=∠AQD=45°，
在△DPQ中，由余弦定理得PQ=，
∴DQ²+PQ²=DP²，∴PQ⊥DQ，
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，
∵CD⊥DA，DA∩PD=D，∴CD⊥平面ADPQ
∵PQ?平面ADPQ，∴CD⊥PQ，
又∵CD∩DQ=D，∴PQ⊥平面DCQ，
∵PQ?平面PQC，∴平面DCQ⊥平面PQC．
（II）建立空间直角坐标系如图，设AD=1，AB=m．
则C（0，0，m），P（0，2，0），B（1，0，m），
=（1，0，0），=（-1，2，-m），
设=（x，y，z）是平面PBC的法向量，则⇒可取=（0，m，2）
设=（a，b，c）是平面PBQ的法向量，则⇒可取=（m，m，1）
∵二面角Q-BP-C的余弦值为，
cos===
∴m⁴+7m²-8=0．∵m＞0，∴m=1
∴=1．
点评：本题考查面面垂直的判定及利用向量法求二面角的余弦值．