Question

已知函数f（x）=x²-2x，g（x）是R上的奇函数，且当x∈（-∞，0]，g（x）+f（x）=x²．
（1）求函数g（x）在R上的解析式；
（2）若函数h（x）=x[g（x）-λf（x）+]在〔0，+∞）上是增函数，且λ≤0，求λ的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵当x∈（-∞，0]，g（x）+f（x）=x²，f（x）=x²-2x，
∴当x∈（-∞，0]，g（x）=2x （2分）
设x≥0，则-x≤0
∴g（-x）=-2x
∵g（x）是R上的奇函数
∴g（x）=-g（-x）=2x，x∈[0，+∞）
∴g（x）=2x （5分）
（2）∵h（x）=x[g（x）-λf（x）+]
∴ （6分）
①λ=0时，，所以函数h（x）在[0，+∞）上是增函数，满足题意 （7分）
②当λ＜0时，的对称轴x=，在y轴上的截距为
所以（i）若即-1＜λ＜0时，函数h（x）在〔0，+∞）上是增函数，（9分）
（ii）若即λ≤-1时，≥0
即2λ²+5λ+2≤0
∴-2≤λ≤-1，
综上可得，-2≤λ≤0时，结论成立 （12分）
分析：（1）由题意可得，当x∈（-∞，0]g（x）=2x，而当x≥0，则-x≤0，g（x）=-g（-x）=2x，，从而可求g（x）
（2）由题意可得，分类 讨论：①λ=0时，②当λ＜0时，结合导数的符号可判断λ的取值范围
点评：本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的解析式，利用导数判断函数的单调性，体现了分类讨论思想的应用．