题目内容
已知数列{xn}满足x1=4，xn+1=
| ||
| 2xn-4 |
（Ⅰ）求证：xn＞3；
（Ⅱ）求证：xn+1＜xn；
（Ⅲ）求数列{xn}的通项公式．
分析：（Ⅰ）结合题设条件，利用数学归纳法进行证明．
（Ⅱ）xn+1-xn=
-xn=
=
．由xn＞3，知xn+1＜xn．
（Ⅲ）xn+1-1=
-1=
，xn+1-3=
-3=
，由题题条件能导出an=2n-1．由an=log3
，得
=3an．从而得到xn=
=
．
（Ⅱ）xn+1-xn=
| ||
| 2xn-4 |
-
| ||
| 2xn-4 |
| -(xn-1)(xn-3) |
| 2xn-4 |
（Ⅲ）xn+1-1=
| ||
| 2xn-4 |
| (xn-1)2 |
| 2xn-4 |
| ||
| 2xn-4 |
| (xn-3)2 |
| 2xn-4 |
| xn-1 |
| xn-3 |
| xn-1 |
| xn-3 |
| 3an+1-1 |
| 3an-1 |
| 32n-1+1-1 |
| 32n-1-1 |
解答：解：
（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明
①当n=1时，x1=4＞3．所以结论成立．
②假设n=k（n≥1）时结论成立，即xn＞3，则xn+1-3=
-3=
＞0．
所以xn+1＞3．
即n=k+1时，结论成立．
由①②可知对任意的正整数n，都有xn＞3．（4分）
（Ⅱ）证明：xn+1-xn=
-xn=
=
．
因为xn＞3，所以
＜0，即xn+1-xn＜0．
所以xn+1＜xn．（9分）
（Ⅲ）解：xn+1-1=
-1=
，xn+1-3=
-3=
，
所以
=(
)2．
又
=
=3，
所以log3
=2log3
．（11分）
又log3
=1，
令an=log3
，则数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．
所以an=2n-1．
由an=log3
，得
=3an．
所以xn=
=
．（14分）
（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明
①当n=1时，x1=4＞3．所以结论成立．
②假设n=k（n≥1）时结论成立，即xn＞3，则xn+1-3=
| ||
| 2xn-4 |
| (xn-3)2 |
| 2xn-4 |
所以xn+1＞3．
即n=k+1时，结论成立．
由①②可知对任意的正整数n，都有xn＞3．（4分）
（Ⅱ）证明：xn+1-xn=
| ||
| 2xn-4 |
-
| ||
| 2xn-4 |
| -(xn-1)(xn-3) |
| 2xn-4 |
因为xn＞3，所以
| -(xn-1)(xn-3) |
| 2xn-4 |
所以xn+1＜xn．（9分）
（Ⅲ）解：xn+1-1=
| ||
| 2xn-4 |
| (xn-1)2 |
| 2xn-4 |
| ||
| 2xn-4 |
| (xn-3)2 |
| 2xn-4 |
所以
| xn+1-1 |
| xn+1-3 |
| xn-1 |
| xn-3 |
又
| x1-1 |
| x1-3 |
| 4-1 |
| 4-3 |
所以log3
| xn+1-1 |
| xn+1-3 |
| xn-1 |
| xn-3 |
又log3
| x1-1 |
| x1-3 |
令an=log3
| xn-1 |
| xn-3 |
所以an=2n-1．
由an=log3
| xn-1 |
| xn-3 |
| xn-1 |
| xn-3 |
所以xn=
| 3an+1-1 |
| 3an-1 |
| 32n-1+1-1 |
| 32n-1-1 |
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意数学归纳法的证明过程．
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