Question

10．在${（1-{x^2}+\frac{2}{x}）^7}$的展开式中的x³的系数为（　　）

• A． 210
• B． -210
• C． -910
• D． 280

Answer 1

分析 由于${（1-{x^2}+\frac{2}{x}）^7}$的表示7个因式（1-x²+$\frac{2}{x}$）的乘积，分类讨论求得展开式中的x³的系数．

解答 解：由于${（1-{x^2}+\frac{2}{x}）^7}$的表示7个因式（1-x²+$\frac{2}{x}$）的乘积，
在这7个因式中，有2个取-x²，有一个取$\frac{2}{x}$，其余的因式都取1，即可得到含x³的项；
或者在这7个因式中，有3个取-x²，有3个取$\frac{2}{x}$，剩余的一个因式取1，即可得到含x³的项；
故含x³的项为 ${C}_{7}^{2}$×${C}_{5}^{1}$×2×${C}_{4}^{4}$-${C}_{7}^{3}$×${C}_{4}^{3}$×2³=210-1120=-910，
故选：C．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，体现了分类讨论与转化的数学思想，属于基础题．