Question

已知△ABC的边AB所在直线的方程为x-3y-6=0，M（2，0）满足，点T（-1，1）在AC所在直线上且．   
（1）求△ABC外接圆的方程；
（2）一动圆过点N（-2，0），且与△ABC的外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹方程Γ；
（3）过点A斜率为k的直线与曲线Γ交于相异的P，Q两点，满足，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知AT⊥AB，从而直线AC的斜率为-3．所以AC边所在直线的方程为3x+y+2=0．由得点A的坐标为（0，-2），由此能求出△ABC外接圆的方程．
（2）设动圆圆心为P，因为动圆过点N，且与△ABC外接圆M外切，所以，即．故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为，半焦距c=2的双曲线的左支．由此能求出动圆圆心的轨迹方程．
（3）PQ直线方程为：y=kx-2，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由得（1-k²）x²+4kx-6=0（x＜0）
，由此能够得到k的取值范围．
解答：解：（1）∵∴AT⊥AB，从而直线AC的斜率为-3．
所以AC边所在直线的方程为y-1=-3（x+1）．即3x+y+2=0．
由得点A的坐标为（0，-2），
又．
所以△ABC外接圆的方程为：（x-2）²+y²=8．
（2）设动圆圆心为P，因为动圆过点N，且与△ABC外接圆M外切，
所以，即．
故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为，半焦距c=2的双曲线的左支．
从而动圆圆心的轨迹方程Γ为．
（3）PQ直线方程为：y=kx-2，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由得（1-k²）x²+4kx-6=0（x＜0）
∴
解得：
故k的取值范围为
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．