Question

如图，F₁，F₂分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，M为椭圆上一点，MF₂垂直于x轴，椭圆下顶点和右顶点分别为A、B，且OM∥AB，
（1）求椭圆的离心率；
（2）过F₂作于OM垂直的直线交椭圆于点P、Q，若，求椭圆的方程。

Answer 1

解：（1）设F₁(-c，0)，F₂(c，0)，则M（c，y），
∴A(0，-b)，B(a，0)，且OM∥AB， ∴k_OM=k_AB，
∴，
又点M在椭圆上，
∴，∴e=；
（2）由（1）得a=c，b=c，
∴椭圆的方程为，
∵k_AB=，
∴直线PQ的方程为y=-(x-c)，
∴点F₁到直线PQ的距离d=c，
又由，
设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，
∴x₁+x₂=c， x₁x₂=，
∴|PQ|=|x₁-x₂|=c，
=+c·c=20，
∴c²=，
∴a²=，b²=，
∴椭圆的方程为。