Question

数列{a_n}满足an+1=

2an 0≤an＜ 1 2 2an-1 1 2 ≤an＜1

若a1=

3

5

则a₂₀₀₅的值为（　　）

• A、

  1

  5

• B、

  2

  5

• C、

  3

  5

• D、

  4

  5

Answer 1

分析：由数列的分段递推式逐一求解a₂，a₃，a₄，a₅，由求得的值可以看出数列具有周期性，且周期为4，结合给出的数列的首项可得a₂₀₀₅的值．

解答：解：∵a1=

3

5

，

1

2

≤

3

5

＜1，
∴a2=2a1-1=2×

3

5

-1=

1

5

，0≤

1

5

＜

1

2

，
∴a3=2a2=2×

1

5

=

2

5

，0≤

2

5

＜

1

2

，
∴a4=2a3=2×

2

5

=

4

5

，

1

2

≤

4

5

＜1，
∴a5=2a4-1=2×

4

5

-1=

3

5

．
∴数列具有周期性，且周期为4，
∴a₂₀₀₅=a_501×4+1=a₁=

3

5

．
故选：C．

点评：本题考查了数列的递推式，考查了数列的函数特性，解答的关键是由求得的数列的部分值得到数列的周期性特征，是中档题．