Question

已知一个空间几何体的三视图如图所示，主视图、侧视图是斜边长为

2

的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（　　）

• A．

  4π

  3

• B．

  5π

  3

• C．

  7π

  2

• D．

  9π

  2

Answer 1

分析：由三视图可以看出，几何体是正四棱锥，求出高，设出球心，通过勾股定理求出球的半径，再求球的表面积则可．

解答：解：由三视图知几何体是一个正四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为

2

正方形，高为

2

2

，
球心在高的延长线上，球心到底面的距离为h，所以(h+

2

2

)2-h2=1，
h=

2

4

，
故此几何体外接球的半径为

3 2

4

其表面积为4×π×(

3 2

4

)2=

9π

2

故选D．

点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是几何体外接球的表面积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．属基础题．