Question

若数列的各项均为正数，，为常数，且.

（1）求的值；

（2）证明：数列为等差数列；

（3）若，对任意给定的k∈N*，是否存在p，r∈N*(k<p<r)使，，成等差数列？若存在，用k分别表示一组p和r；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）2（2）详见解析（3）当k＝1时，不存在p，r；当k≥2时，存在一组p＝2k－1，r＝k(2k－1)满足题意．

【解析】

试题分析：（1）令，得①，令，得②，①—②，得 ， ，（2）证明数列为等差数列，一般利用定义进行证明，由（1）推导过程知：， ，两式相减得 数列为常数数列，，数列为等差数列（3）先求数列通项公式：由（2）知，数列为等差数列，设公差为，则由条件，得，又数列的各项为正数，，，

若存在p，r使，，成等差数列，则所以；当k＝1时，，舍去；当k≥2时，令p＝2k－1得r＝kp＝k(2k－1)，满足k<p<r．

试题解析：【解析】
（1）由条件，设

令，得①，令，得 ②

①—②，得 ， ，

4分

（2）， ，

两式相减得 7分

数列为常数数列，

， 数列为等差数列. 10分

（3）由（2）知，数列为等差数列，设公差为，

则由条件，得

，又数列的各项为正数，

，，. 12分

当k＝1时，若存在p，r使，，成等差数列，则

与矛盾．因此，当k＝1时，不存在． 14分

当k≥2时，则所以

令p＝2k－1得r＝kp＝k(2k－1)，满足k<p<r．

综上所述，当k＝1时，不存在p，r；

当k≥2时，存在一组p＝2k－1，r＝k(2k－1)满足题意． 16分

考点：等差数列