Question

（2006•崇文区一模）已知数列{a_n}满足

an

an-1

=

n+1

n-1

(n∈N*，n＞1)，a₁=2
（I）求证：数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n+1）
（II）求数列{

1

an

}的前n项和T_n；
（III）是否存在无限集合M，使得当n∈M时，总有|Tn-1|＜

1

10

成立．若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由3S_n=（n+2）a_n，得3S_n-1=（n+1）a_n-1（n≥2），二式相减得

an

an-1

=

n+1

n-1

(n≥2)，然后利用叠乘法可求出数列{a_n}的通项公式，从而证得结论；
（II）将

1

an

=

1

n(n+1)

裂项得

1

n

-

1

n+1

，然后进行求和即可；
（III）令|Tn-1|=|

n

n+1

-1|=

1

n+1

＜

1

10

，可求出满足条件的n，从而得到集合M．

解答：证明：（I）由3S_n=（n+2）a_n
得3S_n-1=（n+1）a_n-1（n≥2）
二式相减得3a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1
∴（n-1）a_n=（n+1）a_n-1
∴

an

an-1

=

n+1

n-1

(n≥2)
∴

an-1

an-2

=

n

n-2

；…；

a3

a2

=

4

2

；

a2

a1

=

3

1

；a1=2
叠乘得：a_n=n（n+1）（n∈N^*）（7分）
（II）∵

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

（10分）
（III）令|Tn-1|=|

n

n+1

-1|=

1

n+1

＜

1

10

得：n+1＞10，n＞9
故满足条件的M存在，M={n∈N|n＞9，n∈N^*}是一个这样的集合（12分）

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及裂项求和法的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．