题目内容

已知函数 $数学公式$ （其中ω＞0），且函数f（x）的图象的相邻两条对称轴间的距离为π．
（1）先列表再作出函数f（x）在区间[-π，π]上的图象．
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．
（3）若 $数学公式$ ，求 $数学公式$ 的值．

解：（1）函数 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin2ωx+cos2ωx+1=2sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ）+1，
∵函数f（x）的图象的相邻两条对称轴间的距离为π，∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =π，解得ω= $\text{[math]}$ ，∴f（x）=2sin（x+ $\text{[math]}$ ）+1．
列表

x+ $\text{[math]}$	- $\text{[math]}$	- $\text{[math]}$	0	$\text{[math]}$	π	$\text{[math]}$
x	-π	- $\text{[math]}$	- $\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	π
f（x）	0	-1	1	3	1	0

如图所示：

（2）将（2a-c）cosB=bcosC利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB= $\text{[math]}$ ．又B为三角形的内角，∴B= $\text{[math]}$ ．
∴A+C= $\text{[math]}$ ，0＜A＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＜A+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＜sin（A+ $\text{[math]}$ ）≤1，故函数f（A）=2sin（A+ $\text{[math]}$ ）+1 的取值范围为（2，3]．
（3）∵f（ $\text{[math]}$ ）=2sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+1=2，∴sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∴cos（ $\text{[math]}$ -x）=2 $\text{[math]}$ -1=2 $\text{[math]}$ -1=2× $\text{[math]}$ -1=- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用两角和与差的正弦函数公式化简函数f（x）的解析式为 2sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ）+1，由周期求得ω的值，即可确定f（x）的解析式为 2sin（x+ $\text{[math]}$ ）+1，列表作出它的图象．
（2）由f（x）的解析式，将x=A代入表示出f（A），由正弦定理化简已知的等式，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简后，得到cosB的值，求得B的值，进而
得到A+C的值，得出A的取值范围，根据正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，进而确定出f（A）的取值范围．
（3）由 f（ $\text{[math]}$ 0=2，求得sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，再利用二倍角公式、诱导公式求得 cos（ $\text{[math]}$ -x）=2 $\text{[math]}$ -1 的值．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式、正弦定理的应用，作函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象，属于中档题．