Question

如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，
，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；

Answer 1

（1）取中点，连结，．证得，由四边形为直角梯形，得到，证得平面．推出 ．
（2）直线与平面所成角的正弦值为．

试题分析：（1）证明：取中点，连结，．

因为，所以            2分
因为四边形为直角梯形，
，，
所以四边形为正方形，所以．     4分
所以平面．   
所以 ．            6分        
（2）解法1：因为平面平面，且
所以BC⊥平面                          8分
则即为直线与平面所成的角               9分
设BC=a，则AB=2a，，所以
则直角三角形CBE中，          。11分
即直线与平面所成角的正弦值为．            。12分
解法2：因为平面平面，且 ，

所以平面，所以．
由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，
则．
所以 ，平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
所以 ，           
即直线与平面所成角的正弦值为．（参照解法1给步骤分）     12分
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离及体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程。本题给出了两种解法，便于比较借鉴。