Question

三棱锥中, 是的中点,

（I）求证：；

（II）若，且二面角为,求与面所成角的正弦值。

 

Answer 1

【答案】

（I）见解析；（II）。

【解析】本试题主要是考查了立体几何总空间中的线线垂直的证明以及线面角的求解的综合运用。

（1）对于线线的垂直的证明，主要利用线面垂直的性质定理得到，先分先要证明的线和平面，然后找突破口进而求证。

（2）而对于线面角的求解问题，既可以采用向量法，也可以采用得到斜线和斜线在平面内的射影，借助于线面角的定义作出角，分析求解。

解：（I）如图取的中点，连，

∵为中点，为中点，∴.

   ∴.  

∵ ∴

又，

∴                 …………4分

∵，∴ …………6分

（II）由（I）知,

      。

               …………8分

   ,

为等腰直角三角形，，

    …………10分

又由(1)知

        

就是与面所成角 ，            …………12分

在中，，          .

即直线与面所成角的正弦值为        …………14分