Question

如图,过点A(-1,0),斜率为k的直线l与抛物线C:y²=4x交于P、Q两点.若曲线C的焦点F与P、Q、R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程.

Answer 1

解：由已知l:y=k(x+1),

消x得y²-y+k=0.?

∵直线l交C于两点P、Q，?

∴解得-1＜k＜0或0＜k＜1.?

设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）、R（x，y），M是PQ中点，如图：?

∵y₁+y₂=，∴M点纵坐标y_M，将其代入l方程，得x_M=-1.?

∵PFQR是平行四边行，?

∴R、F中点也是M，而F（1，0），?

∴x=-3，y=，消k得y²=4（x+3）.?

又∵k∈（-1，0）∪（0，1），∴x∈（1，+∞），?

∴点R的轨迹方程为y²=4（x+3）（x＞1）.