Question

已知点P（0，5）及圆C：x²+y²+4x-12y+24=0．
（1）若直线l过P且与⊙O的圆心相距为2，求l的方程；
（2）求过P点的⊙C的弦的中点轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）先整理出圆C的标准方程，根据圆心到L距离看直线直线斜率不存在解得l的方程，正好符合题；当直线斜率存在时，设直线方程y-5=kx根据点到直线的距离公式，求的k，进而可得直线的方程，综合可得答案．
（2）先求得圆心O的坐标和PO中点坐标，根据直角三角形中线的性质可知，过P点的⊙C的弦的中点轨迹是以PO中点为圆心，以

1

2

|PO|为半径的圆，进而可得圆的方程．

解答：解：（1）整理圆的方程得（x+2）²+（y-6）²=16
圆心（-2，6），半径=4
圆心到L距离是2
若直线斜率不存在
则是x=0，（-2，6）到x=0距离是2，成立
若斜率存在
设直线的y-5=kx
即kx-y+5=0
所以

|-2k-6+5|

k2+1

=2
平方
4k²+4k+1=4k²+4
∴k=

3

4

所以x=0或3x-4y+20=0
（2）由P（0，5），O（-2，6），PO中点坐标（-1，

11

2

）设弦中点为M，则∠PMO=90°
由此可知过P点的⊙C的弦的中点轨迹是以PO中点为圆心，以

1

2

|PO|为半径的圆，
∵

1

2

|PO|=

1

2

22+12

=

5

2

∴过P点的⊙C的弦的中点轨迹方程为（x+1）²+（y-

11

2

）²=

5

4

，
又此方程是弦中点的轨迹方程，故应为在圆C：x²+y²+4x-12y+24=0内部的部分．

点评：本题主要考查了轨迹方程问题．题中关键是运用了定义法求轨迹