Question

已知点P（0，5）及圆C：x²+y²+4x-12y+24=0，若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4

3

，求l的方程．

Answer 1

分析：将圆V方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，根据题意画出相应的图形，取AB的中点为D，连接CD，可得出CD垂直于AB，得出|AD|与|AC|的长，利用勾股定理求出|CD|的长，然后分两种情况考虑：（i）直线l斜率存在时，设斜率为k，表示出l方程，由C到l的距离为2，利用点到直线的距离公式求出k的值，确定出此时l的方程；（ii）当直线l的斜率不存在时，直线x=0满足题意，综上，得到所求的直线方程．

解答：解：将圆C方程化为标准方程得：（x+2）²+（y-6）²=16，
∴圆心C坐标为（-2，6），半径r=4，
如图所示，|AB|=4

3

，取AB的中点D，连接CD，可得CD⊥AB，连接AC、BC，
∴|AD|=

1

2

|AB|=2

3

，|AC|=4，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：|CD|=2，
分两种情况考虑：
（i）当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，
则直线的方程为y-5=kx，即kx-y+5=0，
由点C到直线AB的距离公式，得

|-2k-6+5|

k2+(-1)2

=2，
解得：k=

3

4

，
当k=

3

4

时，直线l的方程为3x-4y+20=0；
（ii）直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x=0，
综上，所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，利用了数形结合及分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．