Question

已知f(x)=2mx+

n

x

+lnx在x=1与x=

1

2

处都取得极值．
（1）求m，n的值；
（2）若对x∈[

1

4

，4]时，f(x)＞lnc-

31

12

恒成立，求c的取值范围；

Answer 1

分析：（1）利用f′（1）=0，和 f′（

1

2

）=0可以求出m，n的值．
（2）由f′（x）的符号判断f（x）的单调性，根据f（x）的单调性求出f（x）的最小值，
要使f(x)＞lnc-

31

12

恒成立，需f（x）的最小值大于lnc-

31

12

，从而求出c的取值范围．

解答：解：（1）f′(x)=2m-

n

x2

+

1

x

，由求函数极值的过程可知1与

1

2

为
方程2m-

n

x2

+

1

x

=0的两个根．代入得

2m-n+1=0 2m-4n+2=0

解之得m=-

1

3

 ，n=

1

3

．（5分）
（2）由（1）得f(x)=-

2

3

x+

1

3x

+lnx，f′(x)=-

2

3

-

1

3x2

+

1

x

=-

1

3x2

(x-1)(2x-1)．（7分）
故当x∈[

1

4

，

1

2

)时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，
当x∈(

1

2

，1)时，f′（x）＞0，f（x）增函数，
当x∈（1，4]时，f′（x）＞0，f（x）是减函数，
又f(

1

2

)=

7

6

-ln2.，f(4)=-

8

3

+

1

12

+2ln2
f（4）-f(

1

2

)=-

8

3

+

1

12

+2ln2-(

7

6

-ln2．)=-

15

4

+3ln2＜-3+3=0
∴在x∈[

1

4

，4]上，f（x）的最小值为f(4)=-

31

12

+2ln2（10分）
使f(x)＞lnc-

31

12

恒成立，只要lnc-

31

12

＜-

31

12

+2ln2
∴0＜c＜4（12分）

点评：本题考查函数在某点存在极值的条件，函数的恒成立问题往往需要研究函数的最值．