题目内容

19.数列｛an｝的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn（n=1,2,3,…）.证明：

（Ⅰ）数列{}是等比数列；

（Ⅱ）Sn+1=4an.

19.本小题主要考查数列、等比数列的概念和性质，分析和推理能力.

证明：（Ⅰ）∵an+1=Sn+1－Sn,an+1=Sn,

∴（n+2）Sn=n（Sn+1－Sn）,

整理得nSn+1=2（n+1）Sn,

所以=2·.

故{}是以2为公比的等比数列.

　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知=4·（n≥2）.

于是Sn+1=4（n+1）·=4an（n≥2）.

又 a2=3S1=3,

故 S2=a1+a2=4.

因此对于任意正整数n≥1，都有Sn+1=4an.

练习册系列答案
相关题目
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=5，S5=45．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{
4an•an+1
}的前n项和Tn．
有下列说法
①若数列〔an〕的前n项和是Sn=an2+bn+c，其中abc是常数，则数列〔an〕一定不是等差数列：
②若
AB
=3
a
，
CD
=-2
a
，且|
AD
|=|
BC
|，则四边形ABCD是等腰梯形；
③“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件；
④用数学归纳法证明命题：
1
2
+
1
4
+
1
8
+…+
1
2n
＜1，在第二步由n=k到n=k+1时，不等式左边增加了l项．
其中正确说法的序号是
 
．
等差数列{an}中，a1=5，a4=-1；设数列{丨an丨}的前n项和为Sn，则S6=（　　）
已知各项均不相同的等差数列{an}的前四项和Sn=14，且a1，a3，a7成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设Tn为数列{
1an•an+1
}的前n项和，求T2012的值．
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=nan-2n（n-1）．
（Ⅰ）求证：数列{an}为等差数列，并求出an的表达式；
（Ⅱ）设数列{
1an•an+1
}的前n项和Tn，试求Tn的取值范围．

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