Question

如图，已知椭圆中心在原点，F是焦点，A为顶点，准线l（椭圆上的点到焦点的距离与到准线的距离之比等于离心率）交x轴于点B，点P，Q在椭圆上，且PD⊥l于D，QF⊥AO，则①

|PF|

|PD|

；②

|QF|

|BF|

；③

|FO|

|AO|

；④

|AF|

|AB|

，其中比值为椭圆的离心率的有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：①由椭圆的第二定义可得：

|PF|

|PD|

=e；
②过点Q作QM⊥l于点M，则四边形BFQM是矩形，可得|QM|=|BF|，即可得出

|QF|

|BF|

=

|QF|

|QM|

=e；
③利用椭圆的性质可得

|FO|

|AO|

=

c

a

=e；
④利用椭圆的第二定义可得

|AF|

|AB|

=e．

解答：解：①由椭圆的第二定义可得：

|PF|

|PD|

=e；
②过点Q作QM⊥l于点M，则四边形BFQM是矩形，可得|QM|=|BF|，∴

|QF|

|BF|

=

|QF|

|QM|

=e；
③

|FO|

|AO|

=

c

a

=e；
④由椭圆的第二定义可得

|AF|

|AB|

=e．
综上可知其中比值为椭圆的离心率为①②③④．
故选D．

点评：本题考查了椭圆的第一和第二定义，属于基础题．