Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E在线段BD上，点F在线段B₁C上．
（Ⅰ）若E、F分别为线段BD，B₁C的中点，求直线EF与直线C₁D₁所成的角；
（Ⅱ）若EF⊥BD，EF⊥B₁C，求线段EF的长度．

Answer 1

分析：（I）以{

DA

，

DC

，

DD1

}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，求出各顶点的坐标，进而求出向量

C1D1

和

EF

，代入向量夹角公式，即可得直线EF与直线C₁D₁所成的角；
（Ⅱ）先设E（m，m，0），F（n，2，n），则

EF

=(n-m，2-m，n)，利用向量垂直的条件求出m，n的值，从而得出向量

EF

的坐标，最后利用向量模的公式求出线段EF的长度．

解答：解：（Ⅰ）以{

DA

，

DC

，

DD1

}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则C₁（0，2，2）D₁（0，0，2），E（1，1，0），F（1，2，1），
所以

C1D1

=(0，-2，0)，

EF

=(0，1，1)，…（4分）
cos＜

C1D1

，

EF

＞=

C1D1 • EF

| C1D1 || EF |

=

-2

2 2

=-

2

2

…（6分）
又因为直线EF与直线C₁D₁所成的角范围为(0，

π

2

]
所以直线EF与直线C₁D₁所成角为

π

4

…（8分）
（Ⅱ）设E（m，m，0），F（n，2，n），
则

EF

=(n-m，2-m，n)，
因为D（0，0，0），B（2，2，0），B₁（2，2，2），C（0，2，0）
所以

DB

=(2，2，0)，

CB1

=(2，0，2)…（10分）
由题意得，

EF

•

DB

=0，

EF

•

CB1

=0，
即

2(n-m)+2(2-m)=0 2(n-m)+2n=0

，解得

m= 4 3 n= 2 3

…（12分）
所以E(

4

3

，

4

3

，0)，F(

2

3

，2，

2

3

)，所以

EF

=(-

2

3

，

2

3

，

2

3

)，…（14分）|

EF

|=

(- 2 3 )2+( 2 3 )2+( 2 3 )2

=

2 3

3

即线段EF的长度为

2 3

3

…（16分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查异面直线及其所成的角以及点、线、面间的距离计算，正确求出向量的坐标是关键．