Question

已知函数f（x）=x（1+x）²
（1）求函数f（x）的单调区间与极值；
（2）设g（x）=ax²，若对于任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

因为f（x）=x³+2x²+x
所以函数的导数f′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）
令f′（x）=0，解得x₁=-1，x2=-

1

3

因为当x＜-1或x＞-

1

3

时，f′（x）＞0；当-1＜X＜

1

3

时f′（x）＜0
所以的单调增区间是（-∞，-1）和（-

1

3

，+∞）
的单调减区间是(-1，-

1

3

)
所以f（-1）=0是f（x）的极大值，f(-

1

3

)=-

4

27

是f（x）的极小值
（Ⅱ）f（x）-g（x）=x³+2x²+x-ax²=x[x²+（2-a）x+1]
由已知x[x²+（2-a）x+1]≥0（x＞0）恒成立，
因为x∈（0，+∞），所以x²+（2-a）x+1≥0恒成立，
即a-2≤

1

x

+x恒成立．
因为x＞0，所以

1

x

+x≥2，（当且仅当x=1时取“=”号），
所以

1

x

+x的最小值为2．由a-2≤2，得a≤4，
所以f（x）≥g（x）恒成立时，实数a的取值范围是（-∞，4]