题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的长半轴是短半轴的 $数学公式$ 倍，直线 $数学公式$ 经过
椭圆C的一个焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设一条直线 l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为 $数学公式$ ，求△AOB面积的最大值．

解：（1） $\text{[math]}$ 与x轴的交点为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ ，c²=a²-b²=2
∴ $\text{[math]}$ ，b=1
椭圆C的方程为： $\text{[math]}$ ．（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①当AB⊥x轴时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$
或 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$
则： $\text{[math]}$ （6分）
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，（8分）
△=（6km）²-12（3k²+1）（m²-1）=3（9k²+1）＞0
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．（12分）
当且仅当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时等号成立．
由①、②可知：|AB|_max=2．
∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值 $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（1）根据直线 $\text{[math]}$ 经过椭圆C的一个焦点，可求c．利用长半轴是短半轴的 $\text{[math]}$ 倍，可求椭圆C的方程；
（2）分类讨论：AB⊥x轴时；AB与x轴不垂直，将直线方程代入椭圆方程，进而可求AB的长，从而可表示△AOB面积，故可求面积的最大值．
点评：本题以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系，关键是联立方程，组成方程组，进而利用根与系数的关系求解．

练习册系列答案

百公里时进行变轨，其中a、b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）．

（2010•深圳模拟）已知椭圆C：

=1 (a＞b＞0)的长半轴是短半轴的

倍，直线x-y+

=0经过
椭圆C的一个焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设一条直线 l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为

，求△AOB面积的最大值．

1. 我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径百公里）的中心为一个焦点的椭圆. 如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）到火星表面的距离为百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）到火星表面的距离为800百公里. 假定探测器由近火星点第一次逆时针运行到与轨道中心的距离为百公里时进行变轨，其中、分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）.