Question

已知椭圆的长半轴是短半轴的倍，直线经过
椭圆C的一个焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设一条直线 l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据直线经过椭圆C的一个焦点，可求c．利用长半轴是短半轴的倍，可求椭圆C的方程；
 （2）分类讨论：AB⊥x轴时；AB与x轴不垂直，将直线方程代入椭圆方程，进而可求AB的长，从而可表示△AOB面积，故可求面积的最大值．
解答：解：（1）与x轴的交点为，
∴
又 ，c²=a²-b²=2
∴，b=1
椭圆C的方程为：．                             （5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①当AB⊥x轴时，，、
或、
则：（6分）
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知，得．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，（8分）
△=（6km）²-12（3k²+1）（m²-1）=3（9k²+1）＞0
，．
∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²===．                 （12分）
当且仅当，即时等号成立．
由①、②可知：|AB|_max=2．
∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．（14分）
点评：本题以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系，关键是联立方程，组成方程组，进而利用根与系数的关系求解．